1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones

Introducción

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolver usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a in de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolver en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras, sino que también amplia la pericia matemática y la compresión de los principios científicos básicos.

Algoritmo se define el concepto de algoritmo. Se presentan varios casos de problemas numéricos, se dan sus soluciones en forma algorítmica y se agrega en cada caso una representación en forma de diagrama de flujo.

Algoritmos numéricos

La noción de algoritmo aparece en numerosas y difíciles situaciones de la vida cotidiana y es manejada por una gran cantidad de personas, algunas de las cuales ni tan siquiera conocen su existencia. De manera informal, un algoritmo puede definirse como una lista de instrucciones mediante las cuales puede llevarse a cao un determinado proceso. Consideramos el siguiente ejemplo:

 

Diagramas de flujo

Un diagrama de flujo es la representación gráfica de un algoritmo; en la primera parte hemos construido varios de ellos. Por lo que toca a las figuras que en ellos intervienen, si interpretación es la siguiente:

Aproximaciones

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.
Algunos estudiantes piensan que mientras más dígitos posea su respuesta más exacto es su resultado. Nada más lejos de la realidad. La exactitud de una respuesta tiene que ver principalmente con los instrumentos que usamos para realizar nuestras mediciones. La razón es sencilla, hay instrumentos más exactos que otros.

En algunos conceptos básicos de los Métodos Numéricos podemos encontrar los siguientes:

-          Cifra significativa: En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.

-          Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión.

-          Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido.

-          Incertidumbre: se le conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

-          Sesgo: Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular. Así como el error, de acuerdo con las formas por las cuales se produce, puede minimizarse, la ocurrencia de sesgo también puede ser neutralizada o controlada.

Estas forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas adecuadas.

Ejemplos

1.   Leyes de movimiento de Newton

Las masas m₁=2kg y m₂=4kg están conectadas como se muestra en la figura con un coeficiente de fricción de 0,1. Hallar la aceleración del sistema.

 

w2-T=m2a m2g-T=m2a 4.10-T=4a  Ax + by = C -T-4a=-40 T+4a=40    (1)

T-w1x-fr=m1a T-m1gsen30°-µN=ma N-wy=0 N-w1cos30°=0 N=m1gcos30° N=22.10.0,86 N=17,2 Newton T-2.10.0,5-0,1(17,2)=2a T-10-1,72=2a T-11,72=2a T-2a=11,72 (2)

T+4a=40              (1) T-2a=11,72 (-1)             (2) T-+4a=40 -T+2a=-11,72       6a=28,28 a=28,28/6   a=4,7 m/seg2

 

2.   Ley de Kirchhoff

La cantidad de carga q (en C) que pasa a través de una superficie de área 2cm² varia con el tiempo como q=4t³+5t+6, donde t esta en segundos.

a)   ¿Cuál es la corriente instantánea a través dela superficie en t=1s?

La intensidad de corriente instantánea se define como:

i=dQ/dt  por lo tanto;

i(t)=12t²+5

i(1s)=17 A

 

 

Conclusión

Los métodos numéricos, en contraposición a los analíticos, se emplean para hallar soluciones aproximadas. Esa es la diferencia clave. Se usan en los casos que no resulta práctico o posible hallar una solución analítica, como por ejemplo para resolver una integral de la que no existe o no se conoce la primitiva. Suelen ser rápidos y sencillos de programar, siendo este su punto fuerte.  

Un algoritmo es una lista ordenada bien definida y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema.

Referencias
1. Burden, R. (2011). Analisis numerico. Cengage Learning Editores.
2. Chapra, S., & Canale, R. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Distrito Federal: McGraw-Hill Interamericana.