Unidad 4

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones

Introducción

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolver usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a in de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolver en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras, sino que también amplia la pericia matemática y la compresión de los principios científicos básicos.

Algoritmo se define el concepto de algoritmo. Se presentan varios casos de problemas numéricos, se dan sus soluciones en forma algorítmica y se agrega en cada caso una representación en forma de diagrama de flujo.

Algoritmos numéricos

La noción de algoritmo aparece en numerosas y difíciles situaciones de la vida cotidiana y es manejada por una gran cantidad de personas, algunas de las cuales ni tan siquiera conocen su existencia. De manera informal, un algoritmo puede definirse como una lista de instrucciones mediante las cuales puede llevarse a cao un determinado proceso. Consideramos el siguiente ejemplo:

 

Diagramas de flujo

Un diagrama de flujo es la representación gráfica de un algoritmo; en la primera parte hemos construido varios de ellos. Por lo que toca a las figuras que en ellos intervienen, si interpretación es la siguiente:

Aproximaciones

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.
Algunos estudiantes piensan que mientras más dígitos posea su respuesta más exacto es su resultado. Nada más lejos de la realidad. La exactitud de una respuesta tiene que ver principalmente con los instrumentos que usamos para realizar nuestras mediciones. La razón es sencilla, hay instrumentos más exactos que otros.

En algunos conceptos básicos de los Métodos Numéricos podemos encontrar los siguientes:

-          Cifra significativa: En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.

-          Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión.

-          Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido.

-          Incertidumbre: se le conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

-          Sesgo: Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular. Así como el error, de acuerdo con las formas por las cuales se produce, puede minimizarse, la ocurrencia de sesgo también puede ser neutralizada o controlada.

Estas forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas adecuadas.

Ejemplos

1.   Leyes de movimiento de Newton

Las masas m₁=2kg y m₂=4kg están conectadas como se muestra en la figura con un coeficiente de fricción de 0,1. Hallar la aceleración del sistema.

 

w2-T=m2a m2g-T=m2a 4.10-T=4a  Ax + by = C -T-4a=-40 T+4a=40    (1)

T-w1x-fr=m1a T-m1gsen30°-µN=ma N-wy=0 N-w1cos30°=0 N=m1gcos30° N=22.10.0,86 N=17,2 Newton T-2.10.0,5-0,1(17,2)=2a T-10-1,72=2a T-11,72=2a T-2a=11,72 (2)

T+4a=40              (1) T-2a=11,72 (-1)             (2) T-+4a=40 -T+2a=-11,72       6a=28,28 a=28,28/6   a=4,7 m/seg2

 

2.   Ley de Kirchhoff

La cantidad de carga q (en C) que pasa a través de una superficie de área 2cm² varia con el tiempo como q=4t³+5t+6, donde t esta en segundos.

a)   ¿Cuál es la corriente instantánea a través dela superficie en t=1s?

La intensidad de corriente instantánea se define como:

i=dQ/dt  por lo tanto;

i(t)=12t²+5

i(1s)=17 A

 

 

Conclusión

Los métodos numéricos, en contraposición a los analíticos, se emplean para hallar soluciones aproximadas. Esa es la diferencia clave. Se usan en los casos que no resulta práctico o posible hallar una solución analítica, como por ejemplo para resolver una integral de la que no existe o no se conoce la primitiva. Suelen ser rápidos y sencillos de programar, siendo este su punto fuerte.  

Un algoritmo es una lista ordenada bien definida y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema.

Referencias
1. Burden, R. (2011). Analisis numerico. Cengage Learning Editores.
2. Chapra, S., & Canale, R. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Distrito Federal: McGraw-Hill Interamericana.

1. Introducción a los metodos númericos

En esta primera unidad de métodos numéricos aprenderemos los conceptos básicos, tipos de errores y la convergencia.

¿Qué es un método numérico?

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.).

El procedimiento de solución de estos consiste de una lista finita de instrucciones precias que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.

 

 

¿Tienen errores lo métodos numéricos?

 

Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:

• No se adecúan al modelo concreto.
• Su aplicación resulta excesivamente compleja.
• La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior.
• Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.

 

 

 

 

Referencias

1. UNIDAD I Introduccion a Los Metodos Numericos. (2017). Scribd. Consultado el 24 de Agosto de 2017, desde https://es.scribd.com/doc/137446755/UNIDAD-I-Introduccion-a-Los-Metodos-Numericos
2. Análisis numérico. (2017). Es.wikipedia.org. Consultado el 24 de Agosto de  2017, desde https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico#.C3.81reas_de_estudio

Introducción

Métodos númericos en la ingenieria en mecatronica

Comencemos por saber qué son los métodos numéricos.

“Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos, todos comparten una característica en común, llevan a cabo un buen número de cálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas.” 

Los métodos numéricos son parte importante en todas ramas de la ingeniería, pues son una forma de resolver problemas complejos mediante tres pasos:

•  Formulación: leyes fundamentales explicadas brevemente.
• Solución: métodos muy elaborados y con frecuencia complicados para hacer manejable el problema.
• Interpretación: análisis profundo limitado por una solución que consume tiempo

A lo largo del tiempo se han creado software matemático, capaz de resolver los métodos numéricos; por ejemplo: Microsoft Excel, The Math Works, In. MATLAB.

Con ellos también se ha creado una nueva faceta se solución a los problemas, siguiendo los tres mismos pasos, solo que aplicados a la era de las computadoras:

• Formulación: exposición profunda de la relación del problema con las leyes fundamentales.
• Solución: método de la computadora fácil de usar.
• Interpretación: la facilidad de calcular permite pensar holísticamente y desarrollar la intuición; es factible estudiar la sensibilidad y el comportamiento de los sistemas.

Para concluir, los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas, capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes y resolver geometrías complicadas, comunes en las prácticas de la ingeniería Mecatrónica y, a menudo, imposibles de resolver de forma analítica.

Por ello en la actualidad, se emplean las computadoras y  softwares matemáticos como una alternativa para los cálculos complicados. Al usar la potencia de la computadora se obtiene soluciones directamente, de esta manera se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificación o a técnicas muy lentas.

Aun así, no se debe de perder las ganas de realizar estos métodos, puesto que aun sin poder resolver ecuaciones complicadas, se aumenta la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.

Referencias bibliográficas

1.- Steven C. Chapra y Raymond P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadoras personales, México, McGraw-Hill, 1996.

2.- Luthe, Olivera & Schutz. (1996). Métodos numéricos. México: Limusa